11888. В прямоугольнике ABCD
точка E
расположена на диагонали AC
, причём BC=EC
, точка M
— на стороне BC
, причём EM=MC
. Найдите MC
, если BM=5
, AE=2
.
Ответ. 7.
Решение. Через точку A
проведём прямую, параллельную BE
. Пусть эта прямая пересекает продолжение стороны BC
в точке F
. Поскольку треугольник BCE
равнобедренный, треугольник FAC
тоже равнобедренный. Тогда FB=AE=2
.
Треугольник AFE
равен треугольнику FAB
по двум сторонам и углу между ними (сторона AF
общая, AE=FB
, \angle EAF=\angle BFA
), а так как треугольник FAB
прямоугольный, то треугольник AFE
тоже прямоугольный, \angle AEF=\angle FBA=90^{\circ}
. Значит,
\angle CEF=180^{\circ}-\angle AEF=90^{\circ}.
Точка M
, лежащая на гипотенузе CF
прямоугольного треугольника CEF
, равноудалена от концов катета CE
. Значит, она лежит на серединном перпендикуляре к этому катету. Тогда по теореме Фалеса M
— середина гипотенузы CF
. Следовательно,
MC=MF=MB+BF=5+2=7.