11900. Дан равнобедренный остроугольный треугольник ABC
(AB=BC
), в котором AC=2
. На боковой стороне BC
отмечена точка M
, для которой \angle MAC=40^{\circ}
. Точка N
лежит на продолжении отрезка BC
за точку C
, причём AN=MN
и \angle BAM=\angle NAC
. Найти расстояние от точки C
до прямой AN
.
Ответ. 1.
Решение. Обозначим \angle BAM=\angle NAC=\alpha
. Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому
\angle ACB=\angle BAC=\angle BAM+\angle MAC=\alpha+40^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABC=\angle ABM=\angle AMC-\angle BAM=(\alpha+40^{\circ})-\alpha=40^{\circ}.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, поэтому
2(\alpha+40^{\circ})+40^{\circ}=180^{\circ},
откуда \alpha=30^{\circ}
.
Пусть CK
— перпендикуляр к AN
. Тогда в прямоугольном треугольнике AKC
отрезок CK
— катет, лежащий против угла в 30^{\circ}
. Следовательно,
CK=\frac{1}{2}AC=1.