11901. В остроугольном треугольнике ABC
на медиане AM
выбирается такая точка K
, что AK=CM
. Через точку K
и вершину B
проводится прямая, которая пересекает сторону AC
в точке E
. Угол BEC
в два раза больше угла CAM
. Найдите угол AMB
в градусах.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle BEC=2\angle CAM=2\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AKE=\angle BEC-\angle EAK=\angle BEC-\angle CAM=2\alpha-\alpha=\alpha,
поэтому
\angle MKB=\angle AKE=\alpha.
Пусть P
— точка, симметричная точке C
относительно прямой AM
. Тогда
\angle PAM=\angle MAC=\alpha=\angle MKB,
значит, AP\parallel KB
. В то же время BP\parallel AK
, так как прямая AK
содержит среднюю линию прямоугольного треугольника BPC
. Значит, AKBP
— параллелограмм. Тогда
BP=AK=CM=\frac{1}{2}BC.
В прямоугольном треугольнике BPC
катет BP
равен половине гипотенузы BC
, следовательно, \angle BCP=30^{\circ}
, а
\angle AMB=180^{\circ}-\angle AMC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2018, заключительный этап, 9 класс, № 5