11902. В прямоугольной трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) угол A
равен 60^{\circ}
. На стороне CD
выбирается такая точка K
, что BK=2BC
, при этом AD=CD
. Биссектриса угла BDC
пересекает сторону BC
в точке N
, а AK
и DN
пересекаются в точке P
. Найдите величину угла DPB
в градусах.
Ответ. 165^{\circ}
.
Решение. Продолжим отрезок BK
до пересечения с продолжением основания AD
в точке L
. Гипотенуза BK
прямоугольного треугольника BCK
вдвое больше катета BC
, поэтому \angle BKC=30^{\circ}
, а
\angle ALB=\angle DLK=90^{\circ}-\angle DKL=90^{\circ}-\angle BKC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
Значит, треугольник ABL
равносторонний. Его высота BF
равна высоте AH
, поэтому
AH=BF=CD=AD.
Значит, прямоугольные треугольники AHK
и ADK
равны по катету и гипотенузе. Тогда \angle AKH=\angle AKD
, т. е. KA
— биссектриса угла при вершине K
треугольника BKD
, а так как DN
— биссектриса его угла при вершине D
, то P
— точка пересечения биссектрис треугольника BKD
. При этом
\angle BKD=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ},
следовательно (см. задачу 4770),
\angle DPB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BKD=90^{\circ}+75^{\circ}=165^{\circ}.