11903. В трапеции ABCD
точки K
и N
принадлежат отрезку BC
, BK=KN=NC=1
, а точки P
и Q
принадлежат отрезку AD
, AP=PQ=QD=2
. Прямые BC
и AD
параллельны. Точка K
соединена с точками A
, P
, Q
, D
. Точка P
соединена с точками B
, K
, N
, C
. Докажите, что точки пересечения прямых BP
и AK
, KQ
и PN
, KD
и PC
лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
Ответ. 4.
Решение. Пусть прямые BP
и AK
пересекаются в точке T
, прямые KQ
и PN
— в точке L
, KD
и PC
— в точке F
.
Треугольник BTK
подобен треугольнику PTA
с коэффициентом \frac{BK}{AP}=\frac{1}{2}
. Треугольник KLN
подобен треугольнику QLP
с коэффициентом \frac{KN}{PQ}=\frac{1}{2}
. Значит,
\frac{KT}{KA}=\frac{KL}{KQ}=\frac{1}{3},
поэтому треугольник TKL
подобен треугольнику AKQ
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причём коэффициент подобия равен \frac{1}{3}
.Тогда TL\parallel AQ\parallel AD
. Аналогично, TF\parallel AD
. Следовательно, точки T
, L
и F
лежат на одной прямой.
Пусть эта прямая пересекает боковые стороны AB
и CD
трапеции в точках X
и Y
соответственно. Тогда
XT=\frac{1}{3}AP=\frac{2}{3},~TF=\frac{1}{3}AD=2,~FY=\frac{1}{3}PD=\frac{4}{3}.
Следовательно,
XY=XT+TF+FY=\frac{2}{3}+2+\frac{4}{3}=4.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2018, заключительный этап, 9 класс, № 2, вариант 3