11904. В прямоугольном треугольнике MPK
угол P
прямой, KP
— меньший катет и KP=5
. На гипотенузе MK
выбрана такая E
, что ME=PM
. На катете MP
выбрана такая точка N
, что EN=MN=4{,}2
. Найдите периметр четырёхугольника KENP
.
Ответ. 13,4.
Решение. Треугольник ENM
равнобедренный, поэтому его высота NH
является медианой. Прямоугольные треугольники NHM
и KPM
подобны, поэтому
\frac{MH}{MN}=\frac{PM}{KM},~\mbox{или}~\frac{\frac{1}{2}ME}{4{,}2}=\frac{ME}{KM},
откуда KM=8{,}4
. Следовательно,
KP+PN+EN+KE=5+(PM-4{,}2)+4{,}2+(KM-ME)=
=5+(PM-4{,}2)+4{,}2+(KM-PM)=5+KM=5+8{,}4=13{,}4.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2018, (осень) первый (заочный) онлайн-этап, 8 класс, № 4