11907. Биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
пересекает продолжение стороны BC
в точке E
. Докажите, что если AE
вдвое больше высоты треугольника, опущенной из вершины A
, то один из углов B
и C
треугольника на 60^{\circ}
больше другого.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. На продолжении стороны AC
за точку A
отметим точку K
. По теореме о внешнем угле треугольника \angle BAK=\beta+\gamma
.
Пусть AH
— высота треугольника ABC
. В прямоугольном треугольнике AHE
катет AH
вдвое меньше гипотенузы, поэтому \angle AEH=30^{\circ}
.
Рассмотрим случай, когда точка E
лежит на продолжении стороны BC
за точку C
(рис. 1). По теореме о вертикальных углах
\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAK=\frac{\beta+\gamma}{2},
поэтому
\gamma=\angle ACB=\angle CAE+\angle AEC=\frac{\beta+\gamma}{2}+30^{\circ},
откуда \gamma-\beta=60^{\circ}
.
Пусть точка E
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
(рис. 2). Тогда
\frac{\beta+\gamma}{2}=\angle EAK=\angle ACE+\angle AEC=\gamma+30^{\circ},
откуда \beta-\gamma=60^{\circ}
.
Что и требовалось доказать.