11913. Площадь прямоугольного треугольника равна 1, а его гипотенуза равна \sqrt{5}
. Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведёнными к его катетам.
Ответ. \frac{5}{\sqrt{34}}=\frac{5\sqrt{34}}{34}
.
Решение. Пусть BC=a
и AC=b
— катеты прямоугольного треугольника ABC
с гипотенузой BC=\sqrt{5}
, AP
и BQ
— медианы. Из условия задачи получаем систему
\syst{a^{2}+b^{2}=5\\ab=2\\}~\Leftrightarrow~\syst{(a+b)^{2}-2ab=5\\ab=2\\}~\Leftrightarrow~\syst{(a+b)^{2}=9\\ab=2,\\}
а так как a\gt0
и b\gt0
, то
\syst{a+b=3\\ab=2,\\}
откуда a=1
, b=2
или a=2
, b=1
.
Пусть a=1
, b=2
. По теореме Пифагора
AP=\sqrt{AC^{2}+CP^{2}}=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2},
BQ=\sqrt{BC^{2}+CQ^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{b^{2}}{4}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Пусть CE
— третья медиана треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. На продолжении медианы AP
за точку P
отложим отрезок PD=PG
. Тогда
DG=2PG=2\cdot\frac{1}{3}AP=\frac{2}{3}AP=\frac{\sqrt{17}}{3},
BG=\frac{2}{3}BQ=\frac{2\sqrt{2}}{3},
а так как BDCG
параллелограмм, то
BD=CG=\frac{2}{3}CE=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Пусть острый угол между медианами треугольника ABC
равен \alpha
. Из треугольника BDG
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\cos\angle BDG=\frac{BG^{2}+DG^{2}-BD^{2}}{2BG\cdot DG}=\frac{\frac{8}{9}+\frac{17}{9}-\frac{5}{9}}{2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{17}}{3}}=\frac{5}{\sqrt{34}}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016, отборочный тур, 11 класс, № 7, вариант 15