11916. Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC
равна a
. Угол при вершине B
равен 120^{\circ}
, O
— центр окружности, касающейся основания треугольника и продолжений его боковых сторон, F
— центр окружности, касающейся боковой стороны AB
и продолжений основания AC
и боковой стороны BC
, а P
— центр окружности, касающейся боковой стороны BC
и продолжений основания AC
и боковой стороны AB
. Найдите площадь треугольника OFP
Ответ. a^{2}(2+\sqrt{3})
.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, значит, лучи BP
и BF
— биссектрисы внешних углов при вершине B
треугольника ABC
. Это вертикальные углы, поэтому точки P
, B
и F
лежат на одной прямой.
Пусть BH
— высота (а значит, медиана и биссектриса) равнобедренного треугольника ABC
, окружность с центром O
касается прямой BC
в точке L
, а окружность с центром P
касается прямых AC
и BC
в точках M
и K
соответственно. Тогда BH\perp PF
, \angle PBH=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов, BO\parallel HC
, BPMH
— прямоугольник, \angle PBK=\angle HCB=30^{\circ}
,
CH=BC\cos30^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2},~PK=PM=BH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},~BP=2PK=a.
Аналогично, BF=a
, поэтому PF=2a
.
Точка O
лежит на луче BH
— биссектрисе угла ABC
, а OL\perp BL
. Из прямоугольного треугольника BLO
находим, что
BO=2BL=2(BC+CL)=2(BC+CH)=2\left(a+\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=a(2+\sqrt{3}).
Следовательно,
S_{\triangle OFP}=\frac{1}{2}PF\cdot BO=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a(2+\sqrt{3})=a^{2}(2+\sqrt{3}).
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016, отборочный тур, 9 класс, № 4