11917. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB=BC=12
и AN\perp BC
. На боковой стороне BC
между B
и N
отмечена точка M
, для которой AN=MN
и \angle BAM=\angle NAC
. Найдите BN
.
Ответ. 6\sqrt{3}
.
Решение. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AMN
находим, что \angle MAN=45^{\circ}
. Обозначим, \angle BAM=\angle NAC
. Тогда
\angle CAM=\alpha+45^{\circ},~\angle MCA=\angle BCA=\angle BAC=45^{\circ}+2\alpha.
Сумма углов треугольника ACM
равна 180^{\circ}
, т. е.
45^{\circ}+(45^{\circ}+2\alpha)+45^{\circ}=180^{\circ},
откуда \alpha=15^{\circ}
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABM=\angle AMN-\angle BAM=45^{\circ}-\alpha=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}.
Следовательно,
BN=AB\cos\angle ABM=12\cos30^{\circ}=6\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016, заключительный тур, 8 класс, № 2, вариант 1