11918. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
. На боковой стороне BC
отмечены такие точки M
и N
(M
лежит между B
и N
), что AN=MN
и \angle BAM=\angle NAC
. Точка F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на основание AC
. Найдите угол AMF
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Обозначим, \angle BAM=\angle NAC
, \angle MAN=\angle AMN=\beta
. Тогда
\angle CAM=\alpha+\beta,~\angle ACB=\angle BAC=2\alpha+\beta.
Сумма углов треугольника ACM
равна 180^{\circ}
, т. е.
(\alpha+\beta)+(2\alpha+\beta)+\beta=180^{\circ},
откуда \alpha+\beta=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle AMF=90^{\circ}-\angle CAM=90^{\circ}-(\alpha+\beta)=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016, заключительный тур, 8 класс, № 2, вариант 2