11923. В остроугольном треугольнике ABC
угол B
равен 75^{\circ}
, AC=2
, H
— точка пересечения высот. Площадь треугольника AHC
равна \sqrt{12}-3
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 1.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BHC=180^{\circ}-\alpha
. Применив теорему синусов к треугольникам BHC
и ABC
, получим
\frac{BH}{\sin\angle BCH}=\frac{BC}{\sin\angle BHC}~\mbox{и}~\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin\angle ABC},
или
\frac{BH}{\sin15^{\circ}}=\frac{BC}{\sin(180^{\circ}-\alpha)}=\frac{BC}{\sin\alpha}~\mbox{и}~\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin105^{\circ}}=\frac{2}{\cos15^{\circ}},
откуда
\frac{BH}{\sin15^{\circ}}=\frac{2}{\cos15^{\circ}}.
Следовательно,
BH=2\tg15^{\circ}=2\tg(45^{\circ}-30^{\circ})=\frac{2(\tg45^{\circ}-\tg30^{\circ})}{1+\tg45^{\circ}\tg30^{\circ}}=\frac{2\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=
=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)^{2}}{3-1}=2(2-\sqrt{3})=4-2\sqrt{3}.
Пусть BK
— высота треугольника ABC
. Тогда HK
— высота треугольника AHC
, поэтому
HK=\frac{2S_{\triangle AHC}}{AC}=\frac{2(\sqrt{12}-3)}{2}=\sqrt{12}-3=2\sqrt{3}-3.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BK=\frac{1}{2}AC(BH+HK)=\frac{1}{2}\cdot2((4-2\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-3))=1.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2015, заключительный тур, 10 класс, № 8, вариант 1