1193. Биссектриса внутреннего угла при вершине A
и биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
пересекаются в точке M
. Найдите \angle BMC
, если \angle BAC=40^{\circ}
.
Ответ. 70^{\circ}
.
Указание. Биссектрисы двух внешних углов и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке
Решение. Первый способ. Поскольку биссектрисы двух внешних углов и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке, то BM
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\angle BCM=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle BAC)=\frac{1}{2}(40^{\circ}+\alpha)=20^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha,
\angle MBC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha.
Следовательно,
\angle BMC=180^{\circ}-\angle BCM-\angle MBC=180^{\circ}-\left(20^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha\right)-\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha\right)=70^{\circ}.
Второй способ. Поскольку биссектрисы двух внешних углов и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке, то BM
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
. Угол BMC
— угол между биссектрисами внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
. Следовательно,
\angle BMC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}.