11930. Дан треугольник со сторонами 2\sqrt{13}
, 2\sqrt{5}
, 8. На его сторонах во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих квадратов.
Ответ. 33.
Решение. Первый способ. Пусть стороны AB
, BC
и AC
данного треугольника ABC
равны 2\sqrt{13}
, 2\sqrt{5}
и 8 соответственно, \angle BAC=\alpha
, а K
, M
и N
— центры квадратов, построенных на сторонах соответственно AB
, BC
и AC
.
По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=
=\sqrt{(\sqrt{13}+\sqrt{5}+4)(\sqrt{13}+\sqrt{5}-4)(\sqrt{13}-\sqrt{5}+4)(4+\sqrt{13}-\sqrt{5})(4-\sqrt{13}+\sqrt{5})}=
=\sqrt{((\sqrt{13}+\sqrt{5})^{2}-16)(16-(\sqrt{13}-\sqrt{5})^{2})}=\sqrt{(2\sqrt{65}+2)(2\sqrt{65}-2)}=
=2\sqrt{(\sqrt{65}-1)(\sqrt{65}+1)}=2\sqrt{64}=16.
По теореме косинусов для треугольника AKN
получаем
KN^{2}=AK^{2}+AN^{2}-2AK\cdot KN\cos(90^{\circ}+\alpha)=
=\frac{AB^{2}}{2}+\frac{AC^{2}}{2}+2\cdot\frac{AB}{\sqrt{2}}\cdot\frac{AC}{\sqrt{2}}\sin\alpha=\frac{AB^{2}}{2}+\frac{AC^{2}}{2}+2S_{\triangle ABC}=
=26+32+32=90.
Аналогично,
KM^{2}=\frac{AB^{2}}{2}+\frac{BC^{2}}{2}+2S_{\triangle ABC}=26+10+32=68,
MN^{2}=\frac{BC^{2}}{2}+\frac{AC^{2}}{2}+2S_{\triangle ABC}=10+32+32=74.
Обозначим
a=KN=3\sqrt{10},~b=KM=2\sqrt{34},~c=MN=\sqrt{74}.
По формуле Герона
S_{\triangle KMN}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}}=
=\frac{1}{4}\sqrt{((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})}=
=\frac{1}{4}\sqrt{((3\sqrt{10}+2\sqrt{17})^{2}-74)(74-(3\sqrt{10}-2\sqrt{17})^{2})}=
=\frac{1}{4}\sqrt{(12\sqrt{170}+84)(12\sqrt{170}-84)}=\frac{12}{4}\sqrt{(\sqrt{170}+7)(\sqrt{170}-7)}=
=3\sqrt{170-49}=3\cdot\sqrt{121}=33.
(Можно также воспользоваться готовой формулой площади треугольника через квадраты его сторон, см. примечание 1 к задаче 2730.)
Второй способ. Пусть уже найдено, что S_{\triangle ABC}=16
. Тогда по формуле
S_{\triangle KMN}-S_{\triangle ABC}=\frac{AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}}{8}
(см. задачу 11331) находим, что
S_{\triangle KMN}=S_{\triangle ABC}+\frac{AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}}{8}=16+\frac{52+20+64}{8}=16+17=33.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2014, заключительный тур, 10 класс, № 10, вариант 1