11931. Дан треугольник со сторонами 2\sqrt{13}
, 2\sqrt{5}
, 8. На его сторонах во внутреннюю сторону построены квадраты. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих квадратов.
Ответ. 1.
Решение. Пусть стороны AB
, BC
и AC
данного треугольника ABC
равны 2\sqrt{13}
, 2\sqrt{5}
и 8 соответственно, \angle BAC=\alpha
, а K
, M
и N
— центры квадратов, построенных на сторонах соответственно AB
, BC
и AC
.
По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=
=\sqrt{(\sqrt{13}+\sqrt{5}+4)(\sqrt{13}+\sqrt{5}-4)(\sqrt{13}-\sqrt{5}+4)(4+\sqrt{13}-\sqrt{5})(4-\sqrt{13}+\sqrt{5})}=
=\sqrt{((\sqrt{13}+\sqrt{5})^{2}-16)(16-(\sqrt{13}-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{65}+2)(2\sqrt{65}-2)}=
=2\sqrt{(\sqrt{65}-1)(\sqrt{65}+1)}=2\sqrt{64}=16.
По теореме косинусов для треугольника AKN
получаем
KN^{2}=AK^{2}+AN^{2}-2AK\cdot KN\cos(45^{\circ}-(\alpha-45^{\circ}))=
=\frac{AB^{2}}{2}+\frac{AC^{2}}{2}-2\cdot\frac{AB}{\sqrt{2}}\cdot\frac{AC}{\sqrt{2}}\sin\alpha=\frac{AB^{2}}{2}+\frac{AC^{2}}{2}-2S_{\triangle ABC}=
=26+32-32=26.
Аналогично,
KM^{2}=\frac{AB^{2}}{2}+\frac{BC^{2}}{2}-2S_{\triangle ABC}=26+10-32=4,
MN^{2}=\frac{BC^{2}}{2}+\frac{AC^{2}}{2}-2S_{\triangle ABC}=10+32-32=10.
Обозначим
a=KN=\sqrt{26},~b=KM=2,~c=MN=\sqrt{10}.
По формуле Герона
S_{\triangle KMN}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}}=
=\frac{1}{4}\sqrt{((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})}=
=\frac{1}{4}\sqrt{((\sqrt{26}+2)^{2}-10)(10-(\sqrt{26}-2)^{2})}=
=\frac{1}{4}\sqrt{(4\sqrt{26}+20)(4\sqrt{26}-20)}=\frac{4}{4}\sqrt{(\sqrt{26}+5)(\sqrt{26}-5)}=
=\sqrt{26-25}=1.
(Можно также воспользоваться готовой формулой площади треугольника через квадраты его сторон, см. примечание 1 к задаче 2730.)