11945. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник, в котором лучи AB
и DC
пересекаются в точке K
, а лучи BC
и AD
пересекаются в точке L
. Точка E
— проекция K
на прямую AL
, точка F
— проекция L
на прямую AK
. Докажите, что прямая EF
делит пополам диагональ BD
.
Решение. Заметим, что точки E
и F
не могут быть одновременно вне отрезков AD
и AB
или внутри AD
и AB
. Действительно, если обе эти точки расположены вне отрезков AD
и BC
, то углы LBF
и KDE
оба острые как углы прямоугольных треугольников LBF
и KDE
. В то же время, поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный,
\angle LBF=180^{\circ}-\angle ABC=\angle ADC=180^{\circ}-\angle KDE.
Получили противоречие. Аналогично, невозможен случай, когда обе точки E
и F
расположены внутри отрезков AD
и AB
. Из доказанного следует, что прямая EF
пересекает отрезок BD
.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка E
внутри отрезка AD
, а точка F
вне отрезка AB
). Пусть M
— лежащая на диагонали BD
точка пересечения прямых EF
и BD
. По теореме Менелая
\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BM}{MD}\cdot\frac{DE}{EA}=1,
значит, BM=MD
, если
\frac{AF}{FB}\cdot\frac{DE}{EA}=1,~\mbox{или}~\frac{AF}{EA}\cdot\frac{DE}{FB}=1.
Обозначим \angle KAL=\alpha
и \angle FBL=\angle ADC=\beta
. Тогда
\frac{DE}{KE}=\ctg\beta=\frac{BF}{FL},~\mbox{или}~\frac{DE}{FB}=\frac{KE}{FL},
\frac{AF}{FL}=\ctg\alpha=\frac{AE}{KE},~\mbox{или}~\frac{AF}{AE}=\frac{FL}{KE},
значит,
\frac{AF}{EA}\cdot\frac{DE}{FB}=\frac{FL}{KE}\cdot\frac{KE}{FL}=1.
Отсюда следует утверждение задачи.