11946. Обозначим через O
и I
соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
. Известно, что \angle OIA=30^{\circ}
. Докажите, что один из двух других углов треугольника ABC
равен 60^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть A_{1}
— точка, симметричная вершине A
относительно прямой OI
. Эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 1677), причём IO
— биссектриса угла AIA_{1}
при вершине равнобедренного треугольника ABC
. Поскольку \angle OIA=30^{\circ}
, треугольник AIA_{1}
— равносторонний. Значит, A_{1}I=A_{1}A
.
Пусть луч BI
пересекает окружность в точке D
. Тогда DI=DA
(см. задачу 788), значит, треугольники AA_{1}D
и IA_{1}D
равны по трём сторонам. Тогда \angle ADA_{1}=\angle BDA_{1}
, т. е. DA_{1}
— биссектриса угла ADB
, а точка A_{1}
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
. Значит, луч CA_{1}
— биссектриса угла ACB
. Тогда точка I
лежит на отрезке CA_{1}
, поэтому \angle AIC=120^{\circ}
, а так как I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, то (см. задачу 4770)
120^{\circ}=\angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC.
Следовательно,
\angle ABC=2(120^{\circ}-90^{\circ})=60^{\circ}.
Аналогично для любого другого случая.