11947. Угол
A
треугольника
ABC
равен
96^{\circ}
, угол
B
равен
48^{\circ}
. Найдите углы треугольника
AOI
, где
O
и
I
соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника
ABC
.
Ответ.
6^{\circ}
,
6^{\circ}
,
168^{\circ}
.
Решение. Поскольку угол
A
тупой, точки
A
и
O
расположены по разные стороны от прямой
BC
, поэтому
\angle BOC=\smile BAC=360^{\circ}-2\angle BAC=360^{\circ}-2\cdot96^{\circ}=168^{\circ}.

Центральный угол
AOB
вдвое больше вписанного угла
ACB
, поэтому
\angle AOB=2(180^{\circ}-48^{\circ}-96^{\circ})=72^{\circ}.

Из равнобедренных треугольников
BOC
и
AOB
находим, что
\angle OBC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BOC=90^{\circ}-84^{\circ}=6^{\circ},

\angle OAB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}.

Луч
AI
— биссектриса угла
BAC
, поэтому
\angle OAI=\angle OAB-\angle IAB=54^{\circ}-48^{\circ}=6^{\circ}.

Пусть прямая, проведённая через точку
I
параллельно стороне
AB
, пересекает сторону
BC
в точке
K
. Тогда
\angle BIK=\angle ABI=\angle KBI=24^{\circ}.

Значит, треугольник
BKI
равнобедренный,
KB=IK
. Из точек
A
и
B
, лежащих по одну сторону от прямой
KI
, отрезок
KI
виден под одним и тем же углом, поэтому трапеция
ABKI
вписанная, а значит, равнобедренная,
IA=KB=IK
.
Построим равносторонний треугольник
IKO_{1}
с вершиной
O_{1}
, лежащей с точкой
A
по разные стороны от прямой
IK
. Тогда
IA=IK=IO_{1},

т. е.
I
— центр описанной окружности треугольника
AKO_{1}
. Тогда
\angle KAO_{1}=\frac{1}{2}\angle KIO_{1}=30^{\circ}.

В то же время,
\angle KAO=\angle KAI+\angle OAI=24^{\circ}+6^{\circ}=30^{\circ}=\angle KAO_{1},

значит, точка
O_{1}
лежит на луче
AO
. С другой стороны, из равенства треугольников
AIO
и
BKO
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что
OI=OK
, т. е. точка
O
, как и точка
O_{1}
, равноудалена от концов отрезка
IK
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Таким образом,
O_{1}
— точка пересечения прямой
AO
и серединного перпендикуляра к отрезку
IK
. Следовательно, она совпадает с
O
.
В равнобедренном треугольнике
AIO
углы
OAI
и
AOI
равны по
6^{\circ}
, а угол
AIO
равен
168^{\circ}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 974, с. 120