11947. Угол A
треугольника ABC
равен 96^{\circ}
, угол B
равен 48^{\circ}
. Найдите углы треугольника AOI
, где O
и I
соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
.
Ответ. 6^{\circ}
, 6^{\circ}
, 168^{\circ}
.
Решение. Поскольку угол A
тупой, точки A
и O
расположены по разные стороны от прямой BC
, поэтому
\angle BOC=\smile BAC=360^{\circ}-2\angle BAC=360^{\circ}-2\cdot96^{\circ}=168^{\circ}.
Центральный угол AOB
вдвое больше вписанного угла ACB
, поэтому
\angle AOB=2(180^{\circ}-48^{\circ}-96^{\circ})=72^{\circ}.
Из равнобедренных треугольников BOC
и AOB
находим, что
\angle OBC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BOC=90^{\circ}-84^{\circ}=6^{\circ},
\angle OAB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}.
Луч AI
— биссектриса угла BAC
, поэтому
\angle OAI=\angle OAB-\angle IAB=54^{\circ}-48^{\circ}=6^{\circ}.
Пусть прямая, проведённая через точку I
параллельно стороне AB
, пересекает сторону BC
в точке K
. Тогда
\angle BIK=\angle ABI=\angle KBI=24^{\circ}.
Значит, треугольник BKI
равнобедренный, KB=IK
. Из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой KI
, отрезок KI
виден под одним и тем же углом, поэтому трапеция ABKI
вписанная, а значит, равнобедренная, IA=KB=IK
.
Построим равносторонний треугольник IKO_{1}
с вершиной O_{1}
, лежащей с точкой A
по разные стороны от прямой IK
. Тогда
IA=IK=IO_{1},
т. е. I
— центр описанной окружности треугольника AKO_{1}
. Тогда
\angle KAO_{1}=\frac{1}{2}\angle KIO_{1}=30^{\circ}.
В то же время,
\angle KAO=\angle KAI+\angle OAI=24^{\circ}+6^{\circ}=30^{\circ}=\angle KAO_{1},
значит, точка O_{1}
лежит на луче AO
. С другой стороны, из равенства треугольников AIO
и BKO
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что OI=OK
, т. е. точка O
, как и точка O_{1}
, равноудалена от концов отрезка IK
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Таким образом, O_{1}
— точка пересечения прямой AO
и серединного перпендикуляра к отрезку IK
. Следовательно, она совпадает с O
.
В равнобедренном треугольнике AIO
углы OAI
и AOI
равны по 6^{\circ}
, а угол AIO
равен 168^{\circ}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 974, с. 120