11956. Внутри данного выпуклого четырёхугольника найдите такую точку, чтобы отрезки, соединяющие её с серединами сторон четырёхугольника, делили четырёхугольник на четыре равновеликие части.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
площади S
, O
— искомая точка. Через точки B
, D
и O
проведём прямые соответственно b
, d
и p
, параллельные диагонали AC
. Обозначим через h
расстояние между прямыми b
и d
, а через h_{1}
— расстояние между прямыми b
и p
. Тогда
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot h,
S_{BMON}=S_{\triangle MBN}+S_{\triangle MON}=\frac{1}{2}MN\cdot h_{1}=\frac{1}{4}AC\cdot h_{1},
а так как S_{BMON}=\frac{1}{4}S
, то \frac{1}{4}AC\cdot h_{1}=\frac{1}{8}AC\cdot h
, откуда h_{1}=\frac{1}{2}h
. Это означает, что прямая p
равноудалена от прямых b
и d
. Значит, прямая p
проходит через середину диагонали BD
.
Аналогично, прямая q
, проведённая через точку O
параллельно диагонали BD
, равноудалена от параллельных ей прямых, проведённых через вершины A
и C
, и проходит через середину диагонали AC
. Таким образом, O
— точка пересечения прямых p
и q
. Отсюда вытекает следующее построение.
Через середины диагоналей BD
и AC
проводим прямые p
и q
, соответственно параллельные AC
и BD
. Эти прямые пересекаются в искомой точке O
. Эта точка лежит внутри четырёхугольника ABCD
, так как он выпуклый. Равновеликость указанных в условии четырёхугольников следует из рассуждений, обратных приведённым выше.