11965. Из трёх точек, которые находятся на расстояниях a
, b
и c
от основания телевизионной вышки, её видно под углами, сумма которых равна 90^{\circ}
. Найдите высоту вышки.
Ответ. \sqrt{\frac{abc}{a+b+c}}
.
Решение. Пусть высота вышки равна h
, а углы под которыми она видна из точек, отстоящих от её основания на расстояния a
, b
и c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
\tg\alpha=\frac{h}{a},~\tg\beta=\frac{h}{b},~\tg\gamma=\frac{h}{c},
а так как \gamma=90^{\circ}-\alpha-\beta
, то
\tg\gamma=\ctg(\alpha+\beta)=\frac{1-\tg\alpha\tg\beta}{\tg\alpha+\tg\beta},~\mbox{или}~\frac{h}{c}=\frac{1-\frac{h}{a}\cdot\frac{h}{b}}{\frac{h}{a}+\frac{h}{b}},
откуда h^{2}=\frac{abc}{a+b+c}
. Следовательно,
h=\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}}.