11968. Площадь правильного треугольника ABM
, построенного на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
, вдвое больше площади треугольника ABC
. Найдите отношение катетов треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Пусть AB=c
, AC=b
, BC=a
. Тогда
S_{\triangle ABM}=\frac{c^{2}\sqrt{3}}{4},~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab,
По условию задачи \frac{c^{2}\sqrt{3}}{4}=ab
, откуда c^{2}=\frac{4ab}{\sqrt{3}}
, а так как a^{2}+b^{2}=c^{2}
, то
a^{2}+b^{2}=\frac{4ab}{\sqrt{3}},~\mbox{или}~a^{2}\sqrt{3}-4ab+b^{2}\sqrt{3}=0.
Решая это уравнение как квадратное относительно a
, получим, что a=b\sqrt{3}
или a=\frac{b}{\sqrt{3}}
. Следовательно, \frac{a}{b}=\sqrt{3}
или \frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{3}}
(острые углы данного прямоугольного треугольника равны 60^{\circ}
и 30^{\circ}
.