1197. Какие значения может принимать: а) наибольший угол треугольника; б) наименьший угол треугольника; в) средний по величине угол треугольника?
Ответ. а) 60^{\circ}\leqslant\alpha\lt180^{\circ}
; б) 0^{\circ}\lt\alpha\leqslant60^{\circ}
; в) 0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}
.
Решение. а) Наибольший угол треугольника не может быть меньше 60^{\circ}
, так как в противном случае каждый угол треугольника будет меньше 60^{\circ}
, а их сумма — меньше 180^{\circ}
. Таким образом, если \alpha
— наибольший угол треугольника, то 60^{\circ}\leqslant\alpha\lt180^{\circ}
.
Докажем теперь, что для любого \alpha_{0}
, удовлетворяющего условию 60^{\circ}\leqslant\alpha_{0}\lt180^{\circ}
, найдётся треугольник, у которого \alpha_{0}
— наибольший угол.
Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник с углом \alpha_{0}
при вершине. Пусть каждый из углов при основании равен \beta
. Тогда
\beta=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha_{0}\leqslant90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
б) Решение аналогично предыдущему.
в) Пусть \alpha
— средний по величине угол треугольника. Если \alpha\geqslant90^{\circ}
, то сумма двух других углов треугольника не превосходит 90^{\circ}
, поэтому каждый из них меньше 90^{\circ}
. Тогда \alpha
— наибольший угол треугольника, что невозможно.
Докажем теперь, что для любого \alpha_{0}
, удовлетворяющего условию 0\lt\alpha_{0}\lt90^{\circ}
, найдётся треугольник, у которого \alpha_{0}
— средний по величине угол.
Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник с углом \alpha_{0}
при основании. Поскольку \alpha_{0}\lt90^{\circ}
, то угол \beta
при вершине либо наибольший, либо наименьший угол треугольника. В любом из этих случаев \alpha_{0}
— средний по величине угол этого треугольника, так как либо \alpha_{0}\leqslant\alpha_{0}\lt\beta
, либо \alpha_{0}\geqslant\alpha_{0}\gt\beta
.