11970. Докажите, что если из отрезков a
, b
и c
можно составить треугольник, то из отрезков \sqrt[{n}]{{a}}
, \sqrt[{n}]{{b}}
и \sqrt[{n}]{{c}}
тоже можно, составить треугольник.
Решение. Пусть a\leqslant b\leqslant c
. Из отрезков a
, b
и c
можно составить треугольник, если a+b\gt c
, т. е. \frac{a}{c}+\frac{b}{c}\gt1
. Если n
— натуральное число, большее 1, то \sqrt[{n}]{{a}}\leqslant\sqrt[{n}]{{b}}\leqslant\sqrt[{n}]{{c}}
. Кроме того, \sqrt[{n}]{{\frac{a}{c}}}\geqslant\frac{a}{c}
, так как 0\lt\frac{a}{c}\leqslant1
. Аналогично, \sqrt[{n}]{{\frac{b}{c}}}\geqslant\frac{b}{c}
. Значит,
\frac{\sqrt[{n}]{{a}}}{\sqrt[{n}]{{c}}}+\frac{\sqrt[{n}]{{b}}}{\sqrt[{n}]{{c}}}=\sqrt[{n}]{{\frac{a}{c}}}+\sqrt[{n}]{{\frac{b}{c}}}\geqslant\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\gt1.
Следовательно,
\sqrt[{n}]{{a}}+\sqrt[{n}]{{b}}\gt\sqrt[{n}]{{c}}.
Что и требовалось доказать.