11977. Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
Ответ. Нет.
Решение. Рассмотрим параллелограмм ABCD
, у которого проекция стороны CD
на прямую AB
не имеет общих точек со стороной AB
. Предположим, что некоторая окружность пересекает его сторону AB
в точках X
и Y
, а сторону CD
— в точках Z
и T
. Тогда центр окружности должен лежать на серединных перпендикулярах к отрезкам XY
и ZT
, а эти серединные перпендикуляры параллельны. Следовательно, такой окружности не существует.