11986. Дан треугольник ABC
со сторонами AC=3
, BC=4
, AB=5
. Точка I
— центр его вписанной окружности, а M
— середина стороны AB
. Найдите угол AIM
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть Q
— точка пересечения луча AI
, т. е. биссектрисы угла BAC
, с описанной окружностью треугольника ABC
. Прямоугольный треугольник ABC
— разностный (его сторона BC
— среднее арифметическое сторон AC
и AB
), поэтому точка I
— середина хорды AQ
(см. решение задачи 6100в). Центр O
описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы AB
, т. е. точка M
совпадает с O
. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде (см. задачу 1677), следовательно, \angle AIM=90^{\circ}
.