1199. Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 7^{\circ}
.
Указание. Через произвольную точку проведите 27
прямых, соответственно параллельных диагоналям данного девятиугольника.
Решение. У девятиугольника \frac{9\cdot6}{2}=27
диагоналей. Через произвольную точку проведём 27
прямых, соответственно параллельных этим диагоналям. Получим 54 угла. Если каждый из них не меньше 7^{\circ}
, то их сумма не меньше 54\cdot7^{\circ}=378^{\circ}\gt360^{\circ}
, что невозможно.
Источник: Вышенский В. А. и др. Сборник задач киевских математических олимпиад. — Киев: Вища школа, 1984. — № 794, с. 69