11990. Постройте трапецию по боковым сторонам, углу между ними и углу между и диагоналями.
Решение. Пусть трапеция ABCD
с боковыми сторонами AB=a
и CD=b
, углом \alpha
между ними и углом \beta
между диагоналями построена. Рассмотрим случай, когда это угол, под которым из точки пересечения диагоналей видна боковая сторона трапеции.
Через вершину C
параллельно боковой стороне AB
проведём прямую, пересекающую AD
в точке M
. Через вершину B
параллельно диагонали AC
проведём прямую, пересекающую прямую CM
в точке K
. Тогда \angle DCM=\alpha
, CM=AB=a
, а угол DBK
равен \beta
. Кроме того, так как ABKC
— параллелограмм, то CK=AB=CM
, поэтому C
— середина отрезка MK
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим треугольник DCM
по двум сторонам CM=a
, CD=b
и углу \angle DCM=\alpha
между ними. На продолжении стороны CM
за точку C
откладываем отрезок CK=CM
. Через точку C
проводим прямую l
, параллельную DM
. На отрезке DK
как на хорде строим дугу, вмещающую угол \beta
. Пересечение этой дуги с прямой l
— искомая вершина B
трапеции ABCD
, а пересечение прямой, проведённой через точку B
параллельно CM
, с прямой DM
— искомая вершина A
.
Докажем, что трапеция ABCD
удовлетворяет условию задачи. Действительно, по построению CD=b
, а так как ABCM
— параллелограмм, то AB=CM=a
, а угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha
. Далее, AB\parallel CK
и AB=CM=CK
, тогда ABKC
— параллелограмм, поэтому AC\parallel BK
. Значит, угол между диагоналями AC
и BD
трапеции ABCD
равен углу DBK
, т. е. \beta
. Что и требовалось доказать.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 207