11991. Постройте трапецию по двум углам и диагоналям.
Решение. Пусть трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
построена, AC=m
и BD=n
— данные диагонали, \angle BAD=\alpha
и \angle ADC=\beta
— данные углы.
Через вершину C
параллельно боковой стороне AB
и диагонали BD
проведём прямые, пересекающие прямую AD
в точках F
и E
соответственно. Тогда углы при вершинах F
и D
треугольника FCD
равны \alpha
и \beta
соответственно, а так как AF=BC=DE
, то медиана CM
этого треугольника будет также медианой треугольника ACE
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим произвольный треугольник KCN
по двум углам \angle CKN=\alpha
и \angle CNK=\beta
. Пусть P
— середина KN
, а \angle CPN=\varphi
. На стороне CE=n
как на хорде строим дугу, вмещающую угол \varphi
. С центром в середине U
отрезка CE
строим окружность радиусом \frac{1}{2}m
. Пусть эта окружность пересекается с построенной дугой в точке M
. Через точку C
параллельно UM
проводим прямую до пересечения с прямой EM
в искомой вершине A
трапеции. От луча AM
в полуплоскость, содержащую точку C
откладываем луч под углом \alpha
к лучу AM
. Пересечение этого луча с прямой, проведённой через точку C
параллельно AM
, есть искомая вершина B
, а пересечение луча AM
с прямой, проведённой через точку B
параллельно CE
— искомая вершина D
.
Докажем, что четырёхугольник ABCD
удовлетворяет условию задачи. Действительно, по построению ABCD
— трапеция с основаниями AB
и BC
и диагоналями AC
и BD
, причём BD=CE=n
, так как BCED
параллелограмм, AC=2UM=m
, по теореме о средней линии треугольника, \angle BAD=\alpha
по построению, а \angle ACD=\angle KNL=\angle PNL=\beta
, так как угол \beta
однозначно восстанавливается по углу \varphi
.
Если даны углы при боковой стороне трапеции, задача имеет бесконечное число решений, а если даны противоположные углы трапеции, то решение сводится к изложенному выше.