12000. Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше, чем 60^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с боковыми сторонами AB=CD=a
и основаниями AD=2a
и BC\lt AD
, O
— точка пересечения диагоналей.
Поскольку трапеция равнобокая, около неё можно описать окружность. Пусть R
— радиус этой окружности. Тогда 2a=AD\leqslant2R
, поэтому a\leqslant R
.
Обозначим \angle CAD=\angle BDA=\alpha
. Тогда \alpha\lt90^{\circ}
, так как CD
не самая большая сторона треугольника ACD
(CD\lt AD
). По теореме синусов
\sin\alpha=\frac{CD}{2R}=\frac{a}{2R}\leqslant\frac{R}{2R}=\frac{1}{2},
значит, \alpha\leqslant30^{\circ}
, а так как COD
— внешний угол равнобедренного треугольника AOD
, то
\angle COD=2\angle CAD=2\alpha\leqslant60^{\circ}.
Что и требовалось доказать.