12005. Точка M
— середина основания AC
равнобедренного треугольника ABC
. На продолжении отрезков AC
и BC
за точку C
отмечены точки D
и K
соответственно так, что BC=CD
и CM=CK
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABD
и MCK
, касаются.
Решение. Через точку C
проведём прямую m
, содержащую биссектрису угла BCD
. Тогда точки B
и D
, а также точки M
и K
симметричны относительно прямой m
, а прямые BM
и DK
пересекаются в точке X
, лежащей на m
. Поскольку \angle CMX=90^{\circ}
и из симметрии \angle CKX=90^{\circ}
, отрезок CX
— диаметр окружности, описанной около треугольника MCK
. Кроме того,
\angle BXD=\angle MXK=180^{\circ}-\angle MCK=\angle BCA=\angle BAC=\angle BAD,
значит, точка X
лежит на окружности, описанной около треугольника ABD
.
Прямая m
— серединный перпендикуляр к отрезку BD
, поэтому центр описанной окружности треугольника ABD
, как и центр описанной окружности треугольника MCK
, лежит на прямой m
. Таким образом, точка X
лежит на каждой из двух рассматриваемых окружностей и на линии их центров. Следовательно, эти окружности касаются в точке X
.