12013. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AL
; O_{1}
и O_{3}
— центры окружностей, описанных около треугольников ABL
и ACL
; O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Найдите площадь треугольника O_{1}O_{2}O
, если известно, что O_{1}O_{2}=d
, \angle BAC=\alpha
.
Ответ. \frac{d^{2}}{4}\tg\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, поэтому точки O_{1}
и O_{2}
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AL
, точки O
и O_{1}
— к стороне AB
, точки O
и O_{2}
— к стороне AC
. Углы LAB
и OO_{1}O_{2}
равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Аналогично, равны углы LAC
и OO_{2}O_{1}
, а так как AL
— биссектриса угла, равного \alpha
, то эти углы равны \frac{\alpha}{2}
. Значит, треугольник O_{1}O_{2}O
равнобедренный с основанием O_{1}O_{2}=d
и углом при основании \frac{\alpha}{2}
.
Пусть OH
— его высота. Тогда OH=\frac{d}{2}\tg\frac{\alpha}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle O_{1}O_{2}O}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot OH=\frac{1}{2}d\cdot\frac{d}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{d^{2}}{4}\tg\frac{\alpha}{2}.