12021. Дан остроугольный треугольник ABC
. На продолжениях его высот BB_{1}
и CC_{1}
за точки B_{1}
и C_{1}
выбраны соответственно такие точки P
и Q
, что угол PAQ
прямой. Пусть AF
— высота треугольника APQ
. Докажите, что угол BFC
прямой.
Решение. Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром BC
. Для решения достаточно доказать, что точка F
также лежит на этой окружности, т. е. достаточно доказать, что четырёхугольник CB_{1}FC_{1}
вписанный. Поскольку \angle AB_{1}P=\angle AFP=90^{\circ}
, точки B_{1}
и F
лежат на окружности с диаметром AP
. Поэтому \angle PFB_{1}=\angle PAB_{1}
. Аналогично, \angle QFC_{1}=\angle QAC_{1}
. Тогда
\angle B_{1}FC_{1}=180^{\circ}-\angle PFB_{1}-\angle QFC_{1}=180^{\circ}-\angle PAB_{1}-\angle QAC_{1}=
=180^{\circ}-(\angle PAQ-\angle B_{1}AC_{1})=90^{\circ}+\angle B_{1}AC_{1}=
=90^{\circ}+(90^{\circ}-\angle ACC_{1})=180^{\circ}-\angle B_{1}CC_{1}.
Таким образом, четырёхугольник CB_{1}FC_{1}
вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.