12023. Высота AH
треугольника ABC
равна его медиане BM
. На продолжении стороны AB
за точку B
отложили отрезок BD
, равный стороне AB
. Найдите угол BCD
.
Ответ. 30^{\circ}
Решение. Опустим перпендикуляр DP
на прямую BC
. Прямоугольные треугольники DPB
и AHB
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому DP=AH
.
Отрезок BM
— средняя линия треугольника ADC
, поэтому
DC=2BM=2AH.
В прямоугольном треугольнике CDP
с гипотенузой DC
катет DP
равен половине гипотенузы, следовательно,
\angle BCD=\angle PCD=30^{\circ}.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2009, XVIII, письменный индивидуальный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2010, № 3, с. 56, задача 2