12024. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точки E
и F
— середины сторон BC
и CD
соответственно. Найдите наибольшее возможное значение площади треугольника ABD
, если площади треугольников ABE
, CEF
, AEF
и AFD
в некотором порядке образуют четвёрку последовательных натуральных чисел.
Ответ. 6.
Решение. Пусть n
, n+1
, n+2
, n+3
— площади указанных в условии треугольников, взятых в некотором порядке, S
— площадь данного четырёхугольника, x
— площадь треугольника CEF
(рис. 1). Тогда x\geqslant n
, а S=4n+6
.
Отрезок EF
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому S_{\triangle BCD}=4x
. Значит,
S_{\triangle ABD}=S-S_{\triangle BCD}=4n+6-4x=6-4(x-n)\leqslant6.
Приведём пример четырёхугольника, для которого выполнены условия задачи, и при этом S_{\triangle ABD}=6
.
Пусть ABCD
— прямоугольная трапеция с основаниями BC=2
и AD=3
, углом 90^{\circ}
при вершине D
и боковой стороной CD=4
, а E
и F
— середины BC
и CD
соответственно. Тогда
S=\frac{2+3}{2}\cdot4=10,~S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2=1,
S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot4=2,~S_{\triangle AFD}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot2=3,
S_{\triangle AEF}=S-S_{\triangle ABE}-S_{\triangle CEF}-S_{\triangle AFD}=10-2-1-3=4.
Следовательно, S_{\triangle ABD}=10-4=6
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2009, XVIII, письменный индивидуальный тур, задача 6
Источник: Журнал «Квант». — 2010, № 3, с. 56, задача 6