12026. В четырёхугольнике ABCD
точка M
— середина стороны AB
. Что больше: AD+BC
или CD
, если угол DMC
прямой?
Ответ. AD+BC\geqslant CD
Решение. На продолжении отрезка DM
за точку M
отложим отрезок ME=DM
. Тогда ADBE
— параллелограмм, поэтому BE=AD
. Треугольник DCE
равнобедренный, так как его высота CM
является медианой. Значит, CD=CE
.
Пусть прямые AD
и BC
не параллельны. Тогда точки C
, B
и E
не лежат на одной прямой. Применив неравенство треугольника к треугольнику BCE
, получим
AD+BC=BE+BC\gt CE=DC.
Если прямые AD
и BC
параллельны, то точка B
лежит на отрезке CE
, поэтому
AD+BC=BE+BC=CE=CD.
(В этом случае ABCD
— параллелограмм, в котором AB=\frac{1}{2}BC
.)