1203. Через вершины A
, B
и C
треугольника ABC
проведены прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые пересекаются в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
. Докажите, что стороны треугольника ABC
являются средними линиями треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Указание. Примените свойства параллелограмма.
Решение. Пусть вершины A
, B
и C
данного треугольника лежат на сторонах соответственно B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}
построенного треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Поскольку AB_{1}\parallel BC
и CB_{1}\parallel AB
, то четырёхугольник AB_{1}CB
— параллелограмм. Значит, AB_{1}=BC
. Аналогично докажем, что AC_{1}=BC
. Следовательно, AB_{1}=AC_{1}
, т. е. A
— середина B_{1}C_{1}
. Аналогично для вершин B
и C
.