12036. На боковых сторонах AB
и CD
равнобедренной трапеции ABCD
отложены равные отрезки AK
и CL
. Отрезок KL
пересекает диагонали AC
и BD
в точках P
и Q
соответственно. Найдите KP:PQ:QL
, если AD=2BC
.
Ответ. 1:1:1
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка P
лежит между K
и Q
.
Докажем сначала, что отношение перпендикуляров BE
и DF
, опущенных из вершины B
на прямую CD
и из вершины D
на прямую AB
, равно отношению оснований BC
и AD
. Действительно, прямоугольные треугольники BCE
и DAF
подобны, так как \angle BCE=\angle ADE=\angle DAF
, поэтому \frac{BE}{DF}=\frac{BC}{AD}
.
Теперь докажем, что отношение площадей треугольников BLD
и BKD
равно отношению отрезков BQ
и QD
диагонали BD
. Действительно, поскольку BD
— общая сторона этих треугольников, отношение их площадей равно отношению высот KG
и LH
опущенных на эту сторону, а из подобия прямоугольных треугольников KGQ
и LHQ
следует, что отношение этих высот равно отношению гипотенуз KQ
и QL
.
Далее применим доказанные утверждения к площадям треугольников BLD
и BKD
. С одной стороны, \frac{S_{\triangle BLD}}{S_{\triangle BKD}}=\frac{LQ}{QK}
. С другой стороны, поскольку BK=DL
, это отношение равно отношению \frac{BF}{DF}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}
. Значит, \frac{LQ}{QK}=\frac{1}{2}
, откуда QL=\frac{1}{3}KL
. Аналогично докажем, что KP=\frac{1}{3}KL
. Следовательно, KP:PQ:QL=1:1:1
.
Предположим, что точка Q
лежит между P
и K
. Рассуждая аналогично рассмотренному случаю, получим, что KQ=2QL
и одновременно PL=2KP
, или KL=3QL
и KL=3PL
, что невозможно, так как QL\gt PL
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2013, XXII, письменный индивидуальный тур, задача 6
Источник: Журнал «Квант». — 2014, № 3, с. 53, задача 6