12039. Дан прямоугольный сектор OAB
(OA
и OB
— взаимно перпендикулярные радиусы окружности с центром O
). Пусть C
— середина дуги сектора, а радиус OC
пересекает полуокружность, построенную на радиусе OB
как на диаметре, в точке D
. Пусть, наконец, S_{1}
— площадь криволинейного треугольника OBD
, отсечённого радиусом OC
от полукруга, а S_{2}
— площадь части OACD
сектора AOC
, лежащей вне полукруга. Что больше: S_{1}
или S_{2}
?
Ответ. S_{1}=S_{2}
.
Решение. Пусть r
— радиус данного сектора, а s
— площадь сегмента, отсекаемого от полукруга радиусом OC
. Площадь сектора равна четверти круга радиуса r
, т. е. \frac{1}{4}\pi r^{2}
. Радиус полукруга равен \frac{r}{2}
, поэтому площадь полукруга равна
S_{1}+s=\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{r}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\pi r^{2},
Площадь сектора AOC
равна половине площади данного сектора,т. е.
S_{2}+s=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\pi r^{2}=S_{1}+s.
Следовательно, S_{1}=S_{2}
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2008, XVII, устный командный тур, задача 7
Источник: Журнал «Квант». — 2009, № 3, с. 55, задача 7