1204. Теорема Вариньона. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Указание. Примените свойство средней линии треугольника.
Решение. Пусть M
, N
, K
, L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, AD
четырёхугольника ABCD
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, то MN=\frac{1}{2}AC
и MN\parallel AC
. Аналогично докажем, что KL=\frac{1}{2}AC
и KL\parallel AC
. Значит, MN=KL
и MN\parallel KL
. Следовательно, четырёхугольник MNKL
— параллелограмм.
Примечание. Площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.