12041. На стороне AB
ромба ABCD
во внешнюю сторону построили правильный треугольник AMB
. Найдите угол CMD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть A
— вершина острого угла ромба. Обозначим \angle BAD=\alpha
. Поскольку BA=BM=BC
, точка B
— центр окружности, описанной около треугольника ACM
(рис. 1). Тогда ABC
— центральный угол этой окружности, соответствующий вписанному углу AMC
, значит,
\angle AMC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Поскольку AD=AB=AM
, треугольник AMD
равнобедренный, поэтому
\angle AMD=\angle ADM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DAM)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-60^{\circ})=60^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
Следовательно,
\angle CMD=\angle AMC-\angle AMD=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(60^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=30^{\circ}.
Второй способ. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AD}
правильный треугольник AMB
перейдёт в равный ему правильный треугольник DM_{1}C
(см. рис. 2). Поскольку M_{1}C=M_{1}D=M_{1}M
, точка M_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника CMD
. Тогда CM_{1}D
— центральный угол этой окружности, соответствующий вписанному углу CMD
. Следовательно,
\angle CMD=\frac{1}{2}\angle CM_{1}D=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.