12048. На гипотенузе прямоугольного треугольника найдите точку, для которой сумма квадратов расстояний до катетов минимальна.
Ответ. Основание высоты, проведённой из вершины прямого угла.
Решение. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла C
. Тогда сумма квадратов расстояний от точки H
до катетов равна CH^{2}
. Пусть M
— произвольная точка гипотенузы AB
, отличная от H
, P
и Q
— проекции этой точки на катеты AC
и BC
соответственно. Тогда CPMQ
— прямоугольник, поэтому
MP^{2}+MQ^{2}=CM^{2}\gt CH^{2}.
Следовательно, искомая точка гипотенузы — это точка H
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2005, XIV, устный командный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2006, № 3, с. 49, задача 2