12058. Пусть I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, J
— центр окружности, касающейся стороны BC
и продолжений сторон AC
и AB
(вневписанная окружность), M
— середина отрезка IJ
, а \angle A=\alpha
. Найдите \angle BMC
.
Ответ. 180^{\circ}-\alpha
.
Решение. Заметим, что \angle IBJ=\angle ICJ=90^{\circ}
как углы между биссектрисами смежных углов, значит, точки B
и C
лежат на окружности с диаметром IJ
. Точка M
— центр этой окружности, BMC
— центральный угол, BJC
— соответствующий ему вписанный, а так как
\angle BJC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), то
\angle BMC=2\angle BJC=180^{\circ}-\alpha.