12066. Найдите углы треугольника ABC
, если его ортоцентр является точкой пересечения двух трисектрис углов B
и C
(трисектрисы — лучи, делящие угол на три равные части).
Ответ. \left(\frac{3\pi}{8};\frac{3\pi}{8};\frac{\pi}{4}\right)
; \left(\frac{3\pi}{7};\frac{3\pi}{14};\frac{5\pi}{14}\right)
; \left(\frac{3\pi}{10};\frac{3\pi}{10};\frac{2\pi}{5}\right)
.
Решение. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
, H
— ортоцентр треугольника ABC
.
1. Пусть \angle CBH=\frac{\beta}{3}
, \angle BCH=\frac{\gamma}{3}
. Тогда
\pi-\beta-\gamma=\angle BAC=\pi-\angle BHC=\frac{\beta}{3}+\frac{\gamma}{3},
откуда \beta+\gamma=\frac{3\pi}{4}
.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}C
получаем
\frac{\pi}{2}=\angle CBB_{1}+\angle BCB_{1}=\frac{\beta}{3}+\gamma.
Из системы
\syst{\beta+\gamma=\frac{3\pi}{4}\\\frac{\beta}{3}+\gamma=\frac{\pi}{2}\\}
находим, что \beta=\frac{3\pi}{8}
, \gamma=\frac{3\pi}{8}
. Тогда
\alpha=\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.
2. Пусть \angle CBH=\frac{2\beta}{3}
, \angle BCH=\frac{\gamma}{3}
. Тогда
\pi-\beta-\gamma=\angle BAC=\pi-\angle BHC=\frac{2\beta}{3}+\frac{\gamma}{3},
или
\frac{5}{3}\beta+\frac{4}{3}\gamma=\pi.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}C
получаем
\frac{\pi}{2}=\angle CBB_{1}+\angle BCB_{1}=\frac{\beta}{3}+\gamma.
Из системы
\syst{\frac{5}{3}\beta+\frac{4}{3}\gamma=\pi\\\frac{\beta}{3}+\gamma=\frac{\pi}{2}\\}
находим, что \gamma=\frac{3\pi}{14}
, \beta=\frac{5\pi}{14}
. Тогда
\alpha=\pi-\frac{3\pi}{14}-\frac{5\pi}{14}=\frac{3\pi}{7}.
3. Пусть \angle CBH=\frac{\beta}{3}
, \angle BCH=\frac{2\gamma}{3}
. Аналогично предыдущему случаю получаем
\gamma=\frac{5\pi}{14},~\beta=\frac{3\pi}{14},~\alpha=\frac{3\pi}{7}.
4. Пусть \angle CBH=\frac{2\beta}{3}
, \angle BCH=\frac{2\gamma}{3}
. Тогда
\pi-\beta-\gamma=\angle BAC=\pi-\angle BHC=\frac{2\beta}{3}+\frac{2\gamma}{3},
откуда \beta+\gamma=\frac{3\pi}{5}
.
Из системы
\syst{\beta+\gamma=\frac{3\pi}{5}\\\frac{2\beta}{3}+\gamma=\frac{\pi}{2}\\}
находим, что \beta=\frac{3\pi}{10}
, \gamma=\frac{3\pi}{10}
. Тогда
\alpha=\pi-\frac{6\pi}{10}=\frac{2\pi}{5}.