12083. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2:3
. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Решение. Если прямая пересекает две смежные стороны квадрата, то она разбивает квадрат на треугольник и пятиугольник. Значит, каждая прямая из условия задачи пересекает две противоположные стороны квадрата, т. е. разбивает квадрат на две трапеции (или на два прямоугольника), основания которых лежат на сторонах квадрата, а высоты равны стороне квадрата.
Каждая такая прямая делит один из отрезков, соединяющих противоположные стороны квадрата, в отношении 2:3
. На этом отрезке есть две точки, делящие его в отношении 2:3
. На двух других сторонах квадрата есть ещё две точки, делящие соответствующий отрезок в отношении 2:3
. Значит, каждая из девяти прямых из условия проходит через одну из четырёх указанных точек. Следовательно, через одну из эти точек проходит не менее трёх прямых (если бы через каждую из этих точек проходило не более двух прямых, то всего их было бы не больше 2\cdot4=8
прямых).