12088. Серединный перпендикуляр к стороне AC
треугольника ABC
пересекает прямые BC
и AB
в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно. Точки O
и O_{1}
— центры описанных окружностей треугольников ABC
и A_{1}BC_{1}
соответственно. Докажите, что C_{1}O_{1}\perp AO
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC
, остальные случаи аналогичны. Поскольку
\angle AOC=2\angle ABC=2(180^{\circ}-\angle A_{1}BC_{1})=\angle A_{1}O_{1}C_{1},
треугольники AOC
и C_{1}O_{1}A_{1}
подобны и одинаково ориентированы. Поскольку их соответственные стороны AC
и A_{1}C_{1}
перпендикулярны, отрезки AO
и C_{1}O_{1}
также перпендикулярны.