12090. Дан квадрат ABCD
с центром O
. Из точки P
, лежащей на меньшей дуге CD
описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону CD
в точках M
и N
. Прямые PM
и PN
пересекают отрезки BC
и AD
соответственно в точках Q
и R
. Докажите, что медиана треугольника OMN
, проведённая из вершины O
перпендикулярна отрезку QR
и равна его половине.
Решение. Пусть радиус вписанной окружности данного квадрата равен r
; X
, T
и Y
— точки пересечения лучей соответственно PN
, PO
и PM
с описанной окружностью квадрата ABCD
, K
и L
— точки касания прямых PR
и PQ
с отрезками PR
и PQ
соответственно.
Поскольку PT
— диаметр окружности, описанной около данного квадрата,
\angle PXT=\angle PYT=90^{\circ},
а так как OK\perp PX
и OL\perp PY
, то K
и L
— середины хорд PX
и PY
. Тогда OK
и OL
— средние линии прямоугольных треугольников PXT
и PYT
, поэтому
XT=2OK=2r,~YT=2OL=2r.
Отрезки OK
и OL
— медианы прямоугольных треугольников POX
и POY
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому
PX=2OK=2r,~PY=2OL=2r.
Таким образом, PXTY
— ромб с прямым углом, т. е. квадрат, причём его описанная и вписанная окружности те же, что у и квадрата ABCD
.
При повороте вокруг точки O
на 90^{\circ}
, переводящем вершину C
в D
, прямая CB
переходит в прямую DC
, а прямая PY
— в прямую XP
, поэтому точка Q
пересечения прямых BC
и PY
переходит в точку N
пересечения прямых DC
и XP
. Значит,
ON=OQ,~OR=OM,~\angle QON=\angle MOR=90^{\circ}.
Достроим треугольник MON
до параллелограмма OMSN
. Обозначим \angle MON=\alpha
. Тогда
MS=ON=OQ,~OM=OR,
\angle QOR=\angle QON+\angle MOR-\angle MON=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\alpha=\angle SMO.
Значит, треугольник QOR
равен треугольнику OMS
по двум сторонам и углу между ними. При этом стороны OQ
и OR
треугольника QOR
соответственно перпендикулярны сторонам MS
и OM
треугольника OMC
. Следовательно, прямая OS
, содержащая медиану треугольника MON
, перпендикулярна прямой QR
. Кроме того, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому указанная медиана равна половине отрезка OS
, а значит, половине QR
. Что и требовалось доказать.
Автор: Чан Куанг Хунг (Tran Quang Hung, Вьетнам)
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2021, XVII, задача 4, 8 класс