12109. Высоты треугольника равны 6\sqrt{2}
, 4\sqrt{2}
и 4\sqrt{2}
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 6, 9, 9.
Решение. Поскольку у данного треугольника равны две высоты, то он равнобедренный (см. задачу 1136). Пусть CH=6\sqrt{2}
и BM=AN=4\sqrt{2}
— высоты равнобедренного треугольника ABC
с основанием AB
. Обозначим AH=BH=a
, AC=BC=b
, \angle BAC=\alpha
. Тогда AB\cdot CH=AC\cdot BM
(см. задачу 1067), или 2a\cdot6\sqrt{2}=b\cdot4\sqrt{2}
, откуда
\cos\alpha=\frac{AH}{AC}=\frac{a}{b}=\frac{1}{3},~\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Следовательно,
AB=\frac{BM}{\sin\alpha}=\frac{4\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=6,~BC=AC=\frac{CH}{\sin\alpha}=\frac{6\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=9.