12110. Высоты треугольника равны 24, 24 и 20. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 30, 25, 25.
Решение. Поскольку у данного треугольника равны две высоты, то он равнобедренный (см. задачу 1136). Пусть CH=20
и BM=AN=24
— высоты равнобедренного треугольника ABC
с основанием AB
. Обозначим AH=BH=a
, AC=BC=b
, \angle BAC=\alpha
. Тогда AB\cdot CH=AC\cdot BM
(см. задачу 1067), или 2a\cdot20=b\cdot24
, откуда
\cos\alpha=\frac{AH}{AC}=\frac{a}{b}=\frac{3}{5},~\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5}.
Следовательно,
AB=\frac{BM}{\sin\alpha}=\frac{24}{\frac{4}{5}}=30,~BC=AC=\frac{CH}{\sin\alpha}=\frac{20}{\frac{4}{5}}=25.