12112. Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Докажите, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
Решение. Первый способ. Пусть вершина D'
параллелограмма ABCD'
лежит внутри четырёхугольника ABCD
. Тогда
\angle BCA=\angle CAD'\lt\angle CAD,
т. е. накрест лежащие углы, образованные пересечением прямых BC
и AD
с секущей CA
, удовлетворяют полученному неравенству, а сумма угла BCA
и угла, смежного с углом CAD
, меньше 180^{\circ}
. Значит, точка M
пересечения прямых BC
, AD
и сторона CD
лежат по разные стороны от прямой AB
, т. е. точка M
лежит на продолжении сторон BC
и AD
за вершины B
и A
соответственно. Вершина с таким свойством в четырёхугольнике ровно одна.
Второй способ. Пусть ABCD
— данный выпуклый четырёхугольник, ABCD'
параллелограмм с вершиной D'
, лежащий внутри ABCD
, а лучи AD'
и CD'
пересекают стороны четырёхугольника в точках A_{1}
и C_{1}
. Тогда, поскольку AA_{1}\parallel BC
и CC_{1}\parallel AB
, получаем
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_{1}BC}\lt S_{\triangle DBC},~S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABC_{1}}\lt S_{\triangle ABD},
2S_{\triangle ABC}\lt S_{\triangle DBC}+S_{\triangle ABD}~\Rightarrow~
\Rightarrow~S_{\triangle ABC}\lt S_{\triangle DBC}+S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}.
Значит, ABC
— треугольник наименьшей площади, образованный тремя вершинами четырёхугольника.
Наоборот, если он такой, то на его сторонах найдутся такие точки A_{1}
и C_{1}
, для которых
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_{1}BC}=S_{\triangle ABC_{1}},
и точка пересечения прямых AA_{1}
и CC_{1}
будет искомой.