12114. Точки M
и N
лежат на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
. Найдите площадь треугольника CMN
, если известно, что AM=BN=3
, AN=7
, CM=6
.
Ответ. \frac{3}{2}\sqrt{39}
.
Решение. Поскольку AN=7\gt3=AM
, точка M
лежит между A
и N
. Тогда
AB=AN+BN=7+3=10.
Пусть K
— середина гипотенузы AB
. Тогда
KM=AK-AM=5-3=2=BK-BN=KN,
т. е. K
— середина MN
.
Отрезок CK
— медиана прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
CK=\frac{1}{2}AB=5.
По формуле Герона
S_{\triangle KCM}=\sqrt{\frac{13}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{9}{2}}=\frac{3}{4}\sqrt{39}.
Следовательно,
S_{\triangle CMN}=2S_{\triangle KCM}=2\cdot\frac{3}{4}\sqrt{39}=\frac{3}{2}\sqrt{39}.
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 2, с. 47
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии СПбГУ. — 2006, задача 4